Introduction à la résistance des matériaux

La résistance des matériaux est une partie de la mécanique qui a pour objectif le développement de modèles permettant de dimensionner les structures. Ces modèles sont élaborés dans le cadre d’hypothèses simplificatrices. Ils constituent le premier niveau des méthodes de calcul des structures. Ils se rapportent en général à des corps géométriquement simples qui constituent les éléments de base de la construction mécanique et du génie civil :

L’étude de la résistance des matériaux a pour but d’assurer qu’on utilise dans une pièce donnée, une quantité minimale de matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes :

Dans les problèmes traités, nous supposerons que les matériaux satisfont à un certain nombre d’exigences. Cela nous permettra à la fois de réduire la complexité des

Généralités développements mathématiques et de conserver cependant une certaine généralité.

Les hypothèses de base que nous posons sont les suivantes :

• À l’échelle microscopique, la matière a une structure granulaire avec des liaisons résultant d’actions à distance. On s’intéressera à un matériau idéal continu, sans fissure ni cavité. Cette hypothèse de continuité du matériau permet d’isoler une partie infinitésimale de celui-ci et d’exprimer son comportement selon un système de coordonnées, à l’aide de fonctions mathématiques continues.
• Pour des éléments de machines ou de constructions, il est commode de travailler à l’échelle macroscopique. On peut alors, dans nombre de cas, représenter la matière par un modèle idéalisé homogène, isotrope, continu. Un matériau continu présente des propriétés physiques et mécaniques qui peuvent être variables mais suivent des lois continues et à dérivées continues en fonction des coordonnées des points. Un matériau homogène a les mêmes propriétés en tout point. La plupart des matériaux d’ingénierie satisfont à ce critère, du moins à l’échelle macroscopique. Même des matériaux qui sont peu homogènes (béton, bois, matériaux composites. . . ) peuvent être considérés comme homogènes pour des calculs simplifiés.

Un matériau isotrope a, en un point donné, les mêmes propriétés dans toutes les directions. Les matériaux qui ont des orientations préférentielles (bois, matériaux laminés…) ne sont pas isotropes et ils font l’objet de méthodes de calcul spécialisées.

Les transformations correspondent à des petits déplacements et à des petites déformations, en statique, et sans échange de chaleur.

Les hypothèses liées à la géométrie des poutres, des plaques ou des coques permettent de ramener les équations de la mécanique des milieux continus à des équations différentielles ordinaires auxquelles on peut associer une forme générale de solution correspondant aux sollicitations type. La linéarité des modèles développés permet la superposition des solutions élémentaires en vue du traitement d’un problème pratique.

Les liaisons internes à la matière sont représentées par des forces de surface que l’on appelle contraintes. L’équilibre d’un élément courant à l’intérieur de la matière est assuré sous l’action des contraintes et des forces extérieures directement appliquées dont celles des liaisons mécaniques du système à son environnement.