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Introduction à la résistance des matériaux
RDM
Introduction:
La résistance des matériaux, appelée également mécanique des corps déformables, fait appel aux notions d’équilibre de la mécanique statique, aux notions de déplacements étudiées en cinématique et aux propriétés des matériaux, auxquelles on a recours pour évaluer les dimensions de pièces structurales ou d’éléments de machines. L’objet de cet enseignement est l’étude statique des milieux continus déformables.
La résistance des matériaux est une partie de la mécanique qui a pour objectif le développement de modèles permettant de dimensionner les structures. Ces modèles sont élaborés dans le cadre d’hypothèses simplificatrices. Ils constituent le premier niveau des méthodes de calcul des structures. Ils se rapportent en général à des corps géométriquement simples qui constituent les éléments de base de la construction mécanique et du génie civil :
- les corps élancés pour lesquels une dimension est beaucoup plus grande que les deux autres et qui sont appelés poutres.
- les corps minces, plaques et coques, pour lesquels une dimension, l’épaisseur, est beaucoup plus petite que les deux autres.
L’étude de la résistance des matériaux a pour but d’assurer qu’on utilise dans une pièce donnée, une quantité minimale de matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes :
- Résistance — la pièce doit pouvoir supporter et transmettre les charges externes qui lui sont imposées
- Rigidité — la pièce ne doit pas subir de déformation excessive lorsqu’elle est sollicitée.
- Stabilité — la pièce doit conserver son intégrité géométrique afin que soient évitées des conditions d’instabilité (flambement, déversement).
- Endurance — la pièce, si elle est soumise à un chargement cyclique (répété), doit pouvoir, sans rupture, supporter un certain nombre de cycles (fatigue).
Dans les problèmes traités, nous supposerons que les matériaux satisfont à un certain nombre d’exigences. Cela nous permettra à la fois de réduire la complexité des
Généralités développements mathématiques et de conserver cependant une certaine généralité.
Les hypothèses de base que nous posons sont les suivantes :
- À l’échelle microscopique, la matière a une structure granulaire avec des liaisons résultant d’actions à distance. On s’intéressera à un matériau idéal continu, sans fissure ni cavité. Cette hypothèse de continuité du matériau permet d’isoler une partie infinitésimale de celui-ci et d’exprimer son comportement selon un système de coordonnées, à l’aide de fonctions mathématiques continues.
- Pour des éléments de machines ou de constructions, il est commode de travailler à l’échelle macroscopique. On peut alors, dans nombre de cas, représenter la matière par un modèle idéalisé homogène, isotrope, continu. Un matériau continu présente des propriétés physiques et mécaniques qui peuvent être variables mais suivent des lois continues et à dérivées continues en fonction des coordonnées des points. Un matériau homogène a les mêmes propriétés en tout point. La plupart des matériaux d’ingénierie satisfont à ce critère, du moins à l’échelle macroscopique. Même des matériaux qui sont peu homogènes (béton, bois, matériaux composites. . . ) peuvent être considérés comme homogènes pour des calculs simplifiés.
Un matériau isotrope a, en un point donné, les mêmes propriétés dans toutes les directions. Les matériaux qui ont des orientations préférentielles (bois, matériaux laminés…) ne sont pas isotropes et ils font l’objet de méthodes de calcul spécialisées.
Les transformations correspondent à des petits déplacements et à des petites déformations, en statique, et sans échange de chaleur.
Les hypothèses liées à la géométrie des poutres, des plaques ou des coques permettent de ramener les équations de la mécanique des milieux continus à des équations différentielles ordinaires auxquelles on peut associer une forme générale de solution correspondant aux sollicitations type. La linéarité des modèles développés permet la superposition des solutions élémentaires en vue du traitement d’un problème pratique.
Les liaisons internes à la matière sont représentées par des forces de surface que l’on appelle contraintes. L’équilibre d’un élément courant à l’intérieur de la matière est assuré sous l’action des contraintes et des forces extérieures directement appliquées dont celles des liaisons mécaniques du système à son environnement.
Au sommaire:
- Généralités Concepts généraux
- Représentation et repère
- Description lagrangienne
- Petites déformations d’un milieu continu Déplacement et transformation
- Interprétation géométrique de la transformation Déformation autour d’un point
- Variation d’angle entre deux axes de référenceVariation angulaire de deux directions quelconques Dilatation cubique
- Éléments propres de la matrice des déformations Invariants du tenseur des déformations
- Conditions d’intégrabilité
- Représentation de Mohr
- Contraintes dans un milieu continu
- Équilibre d’un domaine solide
- Notion de contraintes
- État de contrainte en un point
- Propriétés de la matrice des contraintes
- Représentation géométrique des contraintes
- Relation de comportement en élastostatique
- Coefficients élastiques
- Essai de torsion
- Critères limites de dimensionnement
- Énergie de déformation d’un milieu continu élastique
- Énergie de déformation
- Potentiel élastique
- Élasticité linéaire
- position du problème
- Résolution
- Principe de Saint-Venant
- Applications
- Introduction à la théorie des poutres
- Introduction
- Problème de Saint-Venant
- Une théorie approchée des poutres
- Treillis
- Définition
- Effort normal
- Contraintes et déformations
- Équations cinématiques
- Énergie de déformation
- Résolution
- Théorèmes énergétiques
- Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti
- Théorème de Castigliano
- Flexion des poutres droites
- Poutre droite et notations générales
- Équations locales
- Flexion plane
- Assemblages hyperstatiques de poutres
- Hyperstaticité des systèmes plans
- Applications
- Poutre sur appuis dénivelables
- Méthode des trois moments
- Effort tranchant
- Position du problème
- Contraintes de cisaillement et effort tranchant dans une section droite
- Solution approchée et formule de Bredt
- Centre de cisaillement
- Torsion des poutres
- Centres de torsion et de cisaillement
- Poutres de section pleine
- Section pleine admettant un centre de symétrie
- Poutres de section à paroi mince fermée
- Stabilité de l’équilibre des poutres élastiques longues
- Formulation du problème
- Modélisation linéaire du flambement
- Flambement des pièces longues
- Influence de l’effort tranchant
- Calcul de la charge critique d’Euler
- Déversement des poutres en flexion simple
- Torsion et traction/compression
- Stabilité des arcs et anneaux
- A Problème de Saint-Venant
- Méthode des déplacements
- Méthode des contraintes
- Comparaison des deux méthodes
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