Dynamique des structures

1-Introduction

Un des mouvements les plus importants observés dans la nature est le mouvement oscillatoire, en particulier le mouvement harmonique : oscillations d’un pendule, d’une masse attachée à un ressort, d’un gratte-ciel, etc.

Dans le cas des oscillations de systèmes mécaniques conservatifs isolés, on parle d’oscillations libres ; en présence de frottement, l’amplitude des oscillations décroît et on observe des oscillations amorties. Si les oscillations sont entretenues par une action extérieure, on parle d’oscillations forcées. Dans ce dernier cas, on verra apparaître de nouveaux phénomènes tels que la résonance, qui peut avoir des conséquences catastrophiques. Cependant, la plupart des problèmes observés (mis

à part les tremblements de terre) sont liés à des critères d’aptitude au service. Ceux-ci demandent une connaissance précise du comportement linéaire des structures

2-Notions de base

2.1 Mouvements

Une structure sollicitée par une charge subit un certain mouvement ; dans le cas d’une sollicitation uniquement en traction, le mouvement sera translationnel et, dans le cas d’une flexion, celle-ci imprimera à la structure un mouvement translationnel et rotationnel.

Le mouvement oscillatoire d’une structure, dont le lieu géométrique est connu (dans un système de coordonnées déterminé) est caractérisé par un régime oscillatoire dépendant de la rigidité, de la masse et de l’amortissement de la structure. Les différents types de régime d’un mouvement oscillatoire sont le régime harmonique, le régime périodique et le régime transitoire.

Régime harmonique : décrit un mouvement oscillatoire au voisinage d’une position d’équilibre stable (ex. machinerie).

Régime périodique : décrit le même mouvement de manière périodique (ex. un piéton sur une passerelle).

Transitoire : décrit un mouvement à caractère aléatoire (ex. trafic, séisme)

2.2 Evolution dans l’espace

Comme pour l’analyse statique, l’analyse dynamique des structures peut être effectuée dans le plan ou en trois dimensions. Ce cours se limitera à l’analyse des mouvements dans le plan. (Exemples : flexion plane, traction plane, etc.)

Mouvement dans le plan  3 degrés de liberté :

• translations selon x et y
• rotation autour de z (dans le plan xy)

Mouvement dans trois dimensions  6 degrés de liberté :

• translations selon x, y et z
• rotations autour de x, y et z

2.3 Définition de quelques grandeurs dynamiques

Pulsation propre :

où

k : rigidité de l’élément [N/m]
m : masse de l’élément [kg]

Période propre :

Fréquence ou fréquence propre:

Remarque : Ces trois grandeurs (pulsation, période et fréquence) portent la dénomination « propre » car il s’agit de propriétés qui sont propres à l’oscillateur, dépendant uniquement de la masse et de la rigidité de celui-ci.

2.4 Rigidité de la structure

La rigidité d’une structure, k (en [N/m]), dépend des dimensions géométriques de celle-ci et du module d’élasticité du matériau qui la compose. La rigidité équivaut à la force qu’il faut exercer sur l’élément pour induire un déplacement unitaire. Il est à noter que ce cours se limite à l’utilisation de matériaux élastiques linéaires, la rigidité est donc constante tout au long des analyses. La rigidité vaut :

où :
x est un déplacement (translation / rotation) unitaire
F(x) est la force qui permet d’induire le déplacement unitaire x

 Exemple 2.1- Rigidité d’un système à un degré de liberté

Voici l’exemple d’une colonne encastrée à la base dont une masse ponctuelle est fixée à son autre extrémité.

La rigidité de cette structure pour un déplacement horizontal de la masse prend la valeur suivante :

2.5 Rigidité équivalente d’un système

Dans le cas d’un système, une rigidité équivalente est définie. Pour plus d’informations, se référer aux cours de mécanique des structures et solides IV et V.

Système (de ressorts) en série :

Système (de ressorts) en parallèle:

3.Systèmes à un degré de liberté

3.1 Oscillations non amorties

On parle d’oscillations non amorties quand l’amortissement est nul, c’est-à-dire c=0.
Avec
c : constante d’amortissement [Ns/m] ou [kg/s]

Schéma du système :

Un système non amorti peut être modélisé, à sa position d’équilibre et à sa position déformée, comme présenté à la figure (3.1). Les 5 hypothèses de base du modèle sont :

• le ressort a un comportement force/déformation qui est linéaire ;
• le ressort est sans masse ;
• il n’y a aucune friction provenant des rouleaux ;
• la masse est indéformable, et ;
• la résistance de l’air est négligée.

Remarque : En réalité, dans les applications du génie civil, ces hypothèses ne sont jamais satisfaites. Toutefois, l’utilisation d’un tel modèle est très utile car elle permet de saisir les interrelations entre les différentes grandeurs du système ainsi que les tendances associées.

Dans un système linéaire, la gravité n’a aucun effet sur le mouvement oscillatoire, même pour des oscillations verticales.

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Table des matières

Notation

1. Introduction
2. Notions de base
   2.1 Mouvements
   2.2 Evolution dans l’espace
   2.3 Définition de quelques grandeurs dynamiques
   2.4 Rigidité de la structure
   2.5 Rigidité équivalente d’un système

3-Systèmes à un degré de liberté

3.1 Oscillations non amorties
3.2 Oscillations amorties
3.2.1 Amortissement faible :
3.2.2 Amortissement fort :
3.2.3 Amortissement critique :
3.3 Oscillations entretenues ou forcées
3.3.1 Amortissement faible :
3.3.2 Avec amortissement :
3.4 Transmittance
3.4.1 Résonance du système
3.4.2 Amortissement nu
3.4.3 Remarque importante
3.5 Mouvement de la fondation
3.6 Réponse à une charge arbitraire
3.6.1 Charges arbitraires
3.6.2 Force quelconque
3.6.3 Intégrale de Duhamel
3.6.4 Réponse à une charge échelon
3.6.5 Réponse à une force augmentant linéairement
3.6.6 Réponse à une force constante appliquée lentement
3.6.7 Réponse à une charge impulsionnelle
3.6.8 Réponse à une charge d’impact
3.6.9 Evaluation numérique

4-Systèmes à masse répartie

4.1 Corps rigides
4.2 Corps flexibles
4.2.1 Travail virtuel lié à la rigidité en flexion
4.2.2 Travail virtuel lié à l’inertie
4.2.3 Travail virtuel lié aux forces extérieures
4.2.4 Valeurs équivalentes
4.2.5 Charge critique de flambage

5-Systèmes à plusieurs degrés de liberté

5.1 Analyse modale
5.1.1 Oscillations non-amorties
5.1.2 Oscillations amorties et forcées
5.1.2.1 Amortissement classique
5.1.2.2 Amortissement de Rayleigh
5.1.2.3 Amortissement non-classique
5.2 Résolution numérique par la méthode de Holzer
5.3 Amortisseur massique

6-Réponses et spectres

6.1 Méthode des forces de remplacement
6.2 Exemple pour une structure à un degré de liberté
6.3 Analyse des réponses dans le domaine fréquentiel
6.3.1 Du domaine temporel au fréquentiel
6.3.2 La transformée de Fourier
6.3.3 Transformée de Fourier Discrète (TFD)
6.3.4 Transformée de Fourier Rapide, Fast Fourier Transform (FFT)

7-Vent

7.1 Introduction
7.1.1 Généralités
7.1.2 Origine du vent
7.2 Couche limite atmosphérique
7.2.1 Couche limite de l’atmosphère et turbulence
7.2.2 Profil vertical des vitesses moyennes
7.2.3 Intensité de turbulence
7.2.4 Macro-échelle de la turbulence
7.2.5 Fonction de densité spectrale énergétique
7.2.5.1 Collines
7.3 Introduction à la norme SIA 261
7.3.1 Méthodologie
7.3.2 Forces dues au vent, approche simple
7.3.3 Risques acceptés

8-Conclusion

A. Annexe – Rappel sur les structures
A.1 Rigidité
A.2 Détermination des caractéristiques de rigidité d’une structure : application de la méthode des déplacements
A.3 Corps rigides – moment d’inertie

B. Annexe mathématique

B.1 Algèbre matricielle
B.2 Equations différentielles homogènes du 2e ordre
B.3 Equations différentielles non homogènes du 2e ordre
B.4 Formules trigonométriques

C Vent

C.1 Introduction
C.1.1 Généralités
C.1.2 Origine du vent
C.1.2.1 Circulation atmosphérique générale
C.1.2.2 Mousson
C.1.2.3 Cyclones tropicaux
C.1.3 Fonction de densité spectrale énergétique
C.2 Couche limite atmosphérique
C.2.1 Intensité de turbulence
C.2.2 Macro-échelle de la turbulence
C.3 Introduction à l’aérodynamique des constructions
C.3.1 Généralités
C.3.2 Répartition des pressions autour des bâtiments
C.3.3 Répartition des pressions sur les faces et les toits
C.4 Facteur dynamique dans le cas de la résonance dans le sens du vent
C.5 Références sur le vent